Точки Лагранжа – это точки, лежащие в плоскости орбиты (эклиптики для системы Солнце—Земля), в которых тело малой массы находится в состоянии равновесия. Всего таких точек существует пять, и они являются частным решением задачи трех тел.
Оглавление
Общие сведения
Точки Лагранжа присутствуют у любой системы из двух тел, одно из которых массивнее другого, например Солнце-Земля или Земля-Луна. Они обязательно лежат в плоскости вращения этих тех.
Точки Лагранжа обозначаются большой латинской буквой L с порядковым номером: первая, вторая и третья точки лежат на линии, соединяющей тела. Четвертая и пятая точки лежат симметрично под углом от линии, соединяющей тела.
Свое имя получили в честь математика Жозефа Луи Лагранжа, который впервые их обнаружил как решение задачи трех тел, связанных гравитацией.
Равновесие в этих точках, согласно третьему закону Ньютона, достигается равенством гравитационных и центробежных сил, действующих на тело, помещенное в эту точку.
Расположение точек
Точки, что лежат на прямой, соединяющей массивные тела (первая, вторая и третья) носят название коллинеарных. Четвертая и пятая точки называются треугольными или троянскими.
Расположим начало координат в центре самого массивного тела (Солнца), ось х направим к менее массивному телу, а ось y перпендикулярно х. Тогда координаты первых трех точек запишутся следующим образом:
Четвертая и пятая точки уже будут иметь координату по у, и их радиус-вектор запишется следующим образом:
Первая точка
Первая точка Лагранжа находится между массивными телами, рядом с менее массивным. Гравитационные силы от тел направлены в разные стороны и компенсируются между собой. Чем больше будет масса второго тела, тем дальше от него будет располагаться точка.
Равновесие в точке является неустойчивым – космические аппараты могут покинуть точки спустя какое-то время (месяцы).
Если рассматривать системы Солнце-Земля, то главным условием в этой точке является совпадение периода обращения вокруг Солнца самой точки и Земли: чем ближе объект к Солнцу, тем меньше период его обращения вокруг звезды. Равенство периодов достигается за счет уравновешивания гравитационных сил Солнца и Земли.
L1 находится на расстоянии 1,5 млн км от центра Земли.
В этой точке удобно размещать телескопы для наблюдения за Солнцем. В первой точке Лагранжа наблюдения никогда не будут перекрываться Землей и космический аппарат будет находится в равновесии на одном и том же месте без энергетических затрат.
Для системы Земля-Луна первая точка Лагранжа лежит на расстоянии 315 тыс км от центра Земли. Ее практическое применение заключается в том, чтобы расположить в ней космическую станцию, своего рода, «пересадку» во время полета с Земли к Луне, для экономии топлива.
Вторая точка
Вторая точка Лагранжа находится с противоположной стороны от менее массивного тела. При таком расположении, центробежная сила будет полностью компенсировать сумму гравитационных сил от обоих тел. Первая и вторая точки лежат симметрично относительно менее массивного тела и обе являются точками неустойчивого равновесия.
В Системе Солнце-Земля для того, чтобы время обращения Земли и объекта во второй точке Лагранжа было одинаковым, необходимо, чтобы помимо гравитации Солнца, на тело подействовала гравитация Земли, тем самым увеличив суммарную гравитационную силу и под ее действием увеличилась бы орбитальная скорость, а значит и период обращения вокруг Солнца.
Во второй точке Лагранжа идеально размещать космические аппарты с телескопами для наблюдения дальнего космоса. Солнце никогда не пересекает поле обзора. Тень от нашей планеты, хоть и не полностью, но блокирует Солнечное излучение.
Сейчас в этой точке ведет наблюдения телескоп Джеймс Уэбб.
В системе Земля-Луна во второй точке Лагранжа удобно располагать ретранслятор для связи с объектами на обратной стороне Луны.
Третья точка
Третья точка Лагранжа лежит с противоположной стороны от более массивного тела. Равновесие в ней достигается уравновешиванием гравитационных сил от обоих тел центробежной.
В системе Солнце-Земля третья точка лежит аккурат с противоположной стороны от Земли относительно Солнца. Орбита точки чуть меньше, чем орбита Земли, примерно на 263 км, так как Земля и Солнце обращаются вокруг общего центра масс.
Именно в этой точке писатели-фантасты располагают двойника Земли и наличие там планеты не давало покоя многие века. Но так или иначе третью точку Лагранжа можно увидеть в телескоп с Земли и планета в ней была бы заметна. Плюс, хоть эта точки и является точкой равновесия, но очень неустойчивого, и планета там не смогла бы просуществовать долго.
Четвертая и пятая точки
Четвертая и пятая точки Лагранжа лежат по обе стороны от линии, соединяющей массивные тела. Если между телами восстановить правильный треугольник с двумя вершинами в этих телах, то третья вершина попадет в точку Лагранжа.
В отличие от первых трех, эти точки являются точками устойчивого равновесия и объекты, попадающие в них, могут находится там вечно.
Равновесие в них достигается за счет того, что расстояние до двух массивных тел равно, а следовательно, гравитационные силы становятся пропорциональным массам этих тел. Тогда результирующая сила будет направлена на центр масс двух тел.
Самым ярким примером равновесия в четвертой и пятой точках Лагранжа является наличие групп астероидов на орбите Юпитера, которые расположились в них в системе Солнце-Юпитер.
Эти точки также называют троянскими, так как астероиды в них носят имена героев Троянской войны, описанной Гомером в Илиаде.
Подобные группы астероидов есть на орбите всех планет-гигантов в четвертой и пятой точках Лагранжа в их системе с Солнцем.
Координаты точек Лагранжа для системы Солнце-Земля
В системе Солнц-Земля, где центр координат находится в центре Солнца, а ось х направлена на Землю, координаты всех пяти точек Лагранжа будут выглядеть следующим образом:
Применение
В настоящее время точки Лагранжа активно используются для размещения там телескопов. Первая и вторая точки особенно удобны, так как в них отсутствуют помехи от Земли и от Солнца соответственно.
Заблуждения относительно точек Лагранжа
В интернета часто можно встретить формулировку, что точки Лагранжа — точки, где отсутствует гравитация. Но такая трактовка в корне не верна. Гравитационные силы действуют везде, а значит и гравитация тоже есть везде, где есть объекты с массой. Но в точках Лагранжа действие гравитационной силы компенсируется центробежной силой, таким образом, устанавливается равновесие сил. По первому закону Ньютона: если на тело не действуют силы или действие сил скомпенсировано, то тело находится в равновесии или движется равномерно.
В данном случае, оно находится в покое относительно центра вращения системы, в которой рассматриваются точки Лагранжа.
Очень интересно, не знал!
